精选罗素悖论的解决方法61句

罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展

1、罗素集合论悖论内容是什么

(1)、注意到重元素的内壳层电子以Zα量级的速度运动，可能具有相对论效应。但重原子的内核(原子核加上内壳层电子)一般保持了它的整体性，归因于它是空间分离的并且具有大的能隙。于是，尽管原子内核的质能不是严格等于组成它的电子与原子核质能的总和，但它是守恒的。

(2)、第三次危机的发生时间在十九世纪下半部分，主要对抗的人物是群论(集合论)的创立者康托尔和数学家罗素。当时康托尔创立了著名的集合论，这在一段时间内引发人们的讨论，一部分人对其十分赞扬另外一部分则强烈的攻击。不过在不久之后基本上所有的数学家都接受了，并且发现集合论的强大之处。

(3)、       20世纪开头,我才注意到一个人,对于他我曾经并且一直怀有崇高的敬意,尽管那时他实际上还不出名.这个人就是弗雷格.很难解释他的工作未获承认这一事实.戴德金曾受到公正的称赞,而弗雷格关于同样的论题思想更为深刻.我与他的交往非同寻常.这应该是从我的哲学老师詹姆斯·沃德(JamesWard)给我弗雷格的小书《概念文字》开始的,他说他还没有读过这本书,不知道它是否有任何价值.让我汗颜的是,我必须承认直到我独立地做出它所包含的大部分内容,我也从来没有读过它.这本书出版于1879年,而我读它是在1901年.我有点怀疑我是它的第一位读者.让我第一次注意到弗雷格,是佩亚诺在关于弗雷格的后一本书的书评中指责他过于精细.由于佩亚诺是我那时遇到的最精细的逻辑学家,我觉得弗雷格一定非常了不起.在求得他关于算术的书的第一卷(第二卷那时还没有出版)后,我怀着激动和钦佩的心情阅读了引言,但是却被他所发明的“蟹爪”符号系统挡住了,只是在我本人做了相同的工作后,我才能理解他在正文中写下的东西.他是第一位阐明我过去和现在所持观点的人,即数学是逻辑的延伸,他也是第一位用逻辑术语给出数的定义的人.他是在1884年做这件事的,但没有人注意到他曾做过的事情.

(4)、于是鳄鱼得意地说到：可以，那么你猜猜，我会不会吃掉你的孩子，如果你猜对了，我就把孩子还给你！

(5)、今天集合论已成为整个数学大厦的基础，康托也因此成为世纪之交的最伟大的数学家之一。

(6)、波菲利(Porphyry)曾声称，对于一些“深奥的问题”，需要“进行更详细的检验”才能得出结论，从这些问题中，我们可以发现共相问题争论的核心：1)共相(属和种)是自身存在，还是仅仅存在于我们的概念之中；2)如果它们存在，那么它们是实体(物体)的，还是非实体(非物体)的；3)它们是自身独立存在，还是存在于并且依赖于感觉客体。

(7)、当然，牛顿和拉瓦锡对所有的这一切一无所知。他们将质量守恒视为一个基本的原理。不过，他们这样做对了。运用这一原理，他们得以在分析运动和化学变化中取得了非凡的进步。尽管这一原理根本不成立，可它是(而且一直都是)许多定量应用的一个恰当的基础。抛弃这一原理是不可想像的。它本身是一件无价的文化的产物，而且，尽管(实际上部分是因为)其呈展的特性，它还提供了我们对世界运转方式的深刻认识。

(8)、一种对于逻辑主义和直觉主义的简单区分是，“逻辑主义主张类是被发现的，直觉主义主张类是被发明的”。逻辑主义者遵循实在论者，认为逻辑-数学有对应的外部世界实体，而直觉主义者是温和的唯名论者(概念论者)，他们认为，这种外部实体是不存在的，存在的只有“人心造作”。也就是说，直觉主义者在“数学符号的意义”这一问题上退让了一步，但尚且没有退出这个问题的疆界。现在，数学和逻辑不再具备与客观世界中的规律的自然对应关系，但是，在人们的心灵中，这些符号似乎仍然有着某种意义，尽管这种意义并不是通过被给予而得到的，而是人们自发在心灵世界中创造的。

(9)、当这一悖论提出后，各大数学家都开始提出自己的设想，人们希望通过某些方法对康托尔的集合论进行改造，并且设立新的原则来排除悖论。后1908年策梅罗在自己这一原则基础上提出第一个公理化集合论体系，在被其他数学家改进之后被称为ZF系统，这在很大的程度上弥补了集合论缺陷。

(10)、近代数学分析的奠基人(笛卡尔、牛顿、莱布尼兹、欧拉等)大体上都不受这样的思想约束，他们处理缺乏严格定义的无穷小量时相信自己的直觉。在现今普通数学课程中讲授的程度上之适当严密性(意指被抱怨得很多的ε和δ)，19世纪已被引入该领域。

(11)、摘要：二十世纪上半叶，有关数学基础的讨论大量进行。罗素、弗雷格等人领导的逻辑主义运动试图将逻辑-数学与世界实体建立起自然对应关系，却因理论基础的自明性受到挑战而面临危机。随后，数学基础的三大流派，逻辑主义、直觉主义、形式主义形成分立，直觉主义者求助于对古典数学的全面重建，而形式主义者保留了古典数学的全部形式内容，却掏空了它的意涵，将其化为一种符号游戏。在蒯因(Quine)的视域下，这一分立与中世纪关于共相问题的争论中实在论、概念论和唯名论的立场分立逐一形成对应。本文旨在挖掘蒯因指出的这一线索，以数学基础的三大流派分立作为中世纪共相问题讨论的延续，展现各流派的基本观点与其间的互动关系。

(12)、随着实数不可数性质的确立，康托尔又提出一个新的，更大胆的问题。1874年，他考虑了能否建立平面上的点和直线上的点之间的一一对应。从直观上说，平面上的点显然要比线上的点要多得多。康托尔自己起初也是这样认识的。但三年后，康托尔宣布：不仅平面和直线之间可以建立一一对应，而且一般的n维连续空间也可以建立一一对应！这一结果是出人意外的。就连康托尔本人也觉得“简直不能相信”。然而这又是明摆着的事实，它说明直观是靠不住的，只有靠理性才能发现真理，避免谬误。

(13)、不妙的是，我们没有一个标准来断定哪些涉己定义是无害的，哪些是有害的。因此，发现更多的会导致矛盾的涉己定义的危险始终存在。这个问题从策梅洛和庞加莱第一次讨论时起就显得很紧迫，庞加莱提议禁止使用所有的涉己定义。20世纪上半叶的顶尖数学家外尔担心一些涉己定义真的会导致悖论，于是做了很多努力来重新定义最小上界以避免涉己定义。然而他没能成功，只能惴惴不安地得出结论：分析的基础是不牢固的，也许应该牺牲其中的一部分。罗素的劝告是：“我们不能允许去任意地确定一个集合，还将此集合不加考虑地归于另一个集合中。”这当然无助于解决哪些涉己定义可以被允许的问题。

(14)、罗素悖论：S由一切不是自身元素的集合所组成，那S包含S吗?用通俗一点的话来说，小明有一天说：“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于，它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识，它很简单，却可以轻松摧毁集合理论。

(15)、公元5世纪，拜占庭的普罗克拉斯为了解释在研究直径分圆中发现的矛盾问题：直径可将一个圆分成两个半圆，但是直径是无穷多的，所以必须有两倍无穷多的半圆，指出：任何人只能说有很大很大数目的直径或半圆，而不能说一个实实在在无穷多的直径或者半圆。

(16)、(8)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P2

(17)、近期，我一直在琢磨——微积分为什么难学。为此，我找来微积分教材以及相关的十余本书(参见后附参考文献)，一边阅读，一边思考。终于不但明白了这门课程的基本原理，也从中悟出一些道理，甚至联想到更深刻的人生哲理。于是就有了这篇读后感。

(18)、(好物)数学和数学家的故事，国内数学科普最具影响力

(19)、毕达哥拉斯是公元前5世纪的古希腊著名数学家与哲学家，他发现了勾股定理，创立了一个集政治、学术、宗教三位一体的神秘主义派别：毕达哥拉斯学派。

(20)、试说明Peirce定律((A oB) oA) oA可以代替命题逻辑系统L中的公理(L3)，并由此说明L只需要一个连接符来表达，即隐含。

2、罗素悖论的解决方法

(1)、但这导致无穷大的不同的“数量级”，伽俐略以为这是不可能的，因为所有无穷大都一样大。

(2)、波尔查诺是第一个为了建立集合的明确理论而作出了积极努力的人。他向当时的数学家强调了两个集合等价的概念，也就是所谓的一一对应概念，紧接着他还搞了个超限数，提出了悖论，为康托尔创立集合论奠定了基础。

(3)、早在1900年之前，数学家们已经开始就我们刚才叙述过的这些基本问题产生分歧，而新的悖论不过是加深了已经存在的分歧。几年以后，数学家们开始带着渴望，回首在矛盾出现之前的那段短暂而幸福的时光。杜·布瓦-雷蒙描述那段时光为“我们仍住在天堂里”的时候。

(4)、亚里士多德指出这个论证和前面的二分法是一回事，这个论证得到的结论是：跑得慢的人不可能被赶上。

(5)、那么关于加速度呢？加速度也同样被附上一种文化。为了得到加速度，我们被教导去考虑物体空间位置随时间的变化，去求二阶微商。用现代的观点来看，这个“处方”存在着严重的问题。

(6)、1929谓词演算的完全性问题由哥德尔加以肯定解决.

(7)、撰文弗兰克·维尔切克(FrankWilczek)

(8)、(2)其中第一章“方田”主要讲述了平面几何图形面积的计算方法。包括长方形、等腰三角形、直角梯形、等腰梯形、圆形、扇形、弓形、圆环这八种图形面积的计算方法。

(9)、1870年和1871年，康托尔证明了唯一性定理；1872年，他把海涅提出的一致收敛的严酷条件推广到允许间断点是某种无穷的集合的情形，然后为了描述这种集合，他引进了点集的导集和导集的导集等重要概念。

(10)、历史似乎一再重复自身，这使得我们不得不在开展对数学基础三大流派的讨论前先对中世纪共相(universal)问题及其流派予以说明。

(11)、希泊索斯的发现导致了数学史上第一个无理数√2的诞生。这一发现在我们如今看来是一件再正常不过的事情，但却在当时的数学界掀起了一场巨大风暴。它不仅动摇了毕达哥拉斯学派在数学界的统治地位，而且对当时所有古希腊人的观念造成极大的冲击。

(12)、随后，罗素悖论的问题爆发了。这个问题源自泽梅洛(Zermelo)，但是罗素发现它非常重要。在1902年给弗雷格写的信中，罗素指出了这个悖论：

(13)、为了解决悖论，人们还做了许多其他努力，“所有法则皆有例外”的矛盾被当作无意义的陈述而被摒弃了。有人还补充道，存在语法上正确而在逻辑上则是无意义或错误的句子，如这个句子：“Thissentencecontainsfourwords.”(这句话包含四个单词。)另外，由于由所有不属于自身的类组成的类被当作是无意义的或不存在的，原来的罗素悖论也得到清理。“理发师”悖论的“解决”是通过断言不存在这样的理发师，或是要求理发师将自己排除在他给刮脸和他不给刮脸的人所组成的类之外，正如这样的陈述：给所有在班里的人上课的老师要排除自己。罗素拒绝最后一种解释，他在1908年的一篇文章中表达了这样的意思，“最好是这样与一个长鼻子的人交谈：当我谈到鼻子的时候，我已经除去了那些过分长的长鼻子”，而这是避免一个痛苦的话题进行的不成功的尝试。

(14)、集合论里的中心，难点是无穷集合这个概念本身。从希腊时代以来，无穷集合很自然地引起数学家们和哲学家们的注意。而这种集合的本质以及看来是矛盾的性质，很难象有穷集合那样来把握它。所以对这种集合的理解没有任何进展。早在中世纪，人们已经注意到这样的事实：如果从两个同心圆出发画射线，那么射线就在这两个圆的点与点之间建立了一一对应，然而两圆的周长是不一样的。

(15)、然而到1920年,希尔伯特就已摒弃了罗素支撑其《数学原理》的逻辑主义哲学,只是将罗素在数理逻辑方面的技术性贡献当作数学形式化的一种工具(24,p.21).

(16)、蒯因：《蒯因著作集第4卷》，陈启伟等译，中国人民大学出版社，2007年。

(17)、克罗内克的上述论断是于1886年在柏林召开的一次会议上作出的.事实上,戴德金在30年前就已经构想了他的算术基础纲领,即从自然数出发,“以发生学方法”渐进地展开算术(8,p.218).这里我们主要涉及他在1888年出版的《数是什么,以及数应该是什么?》这本著名的小册子中关于自然数的分析.戴德金处理自然数的方法显示出了现代纯粹数学的一种突出特征:抽象和公理化.

(18)、“无穷小量……很重要的一点是，由于它们戴上了非零的帽子，因此它们可以充当分母。……不过，当他们不再需要这些方便的小量时，就会将它们通过简化操作消除掉，就好像它们终究确实等于零(1)”。这段看似矛盾的文字，却富含深刻的哲理。

(19)、首先考虑数域W,其中的数都是从1这个数出发,作有限次下列五种运算得来的代数数:加,减,乘,除和第五种运算,这里的ω每次都表示运用这五种运算业已得来的某个数.

(20)、尽管如此，科学家们依旧不断地摸索着，不料发现无穷虽极具潜力，但无力掌握，因此彻底掌握无穷问题成为了奋斗的目标。

3、罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展对吗

(1)、(7)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P20

(2)、皮亚诺最早呼吁人们注意选择公理，在1890年他曾写道，不能无限次地使用任何关于从许多类中的每一类选取一个元素的公理。在他处理的问题(微分方程的可积性)中，他给出了一个确定的选择法则，从而解决了困难。列维在1902年同样认同了这条公理，施密特则在1904年把它推荐给了策梅洛。

(3)、能否得到一个形式算术系统mathscr{N}的一个一致完全扩充？若能，给出一种构造方法，若不能，谈谈理由。

(4)、(14)FregeG.TheBasicLawsofArithmetic:ExpositionoftheSystem(M).TranslatedandeditedbyM.Furth.BerkeleyandLosAngeles,California:UniversityofCaliforniaPress,19

(5)、我们发现，许多根植于“力的文化”中的观点并不完全正确。此外，我们今天认为更正确的那一套物理定律如果要嵌入这种文化的语言框架却不是那么容易的。要知道产生这种现状的原因，必须回答两个问题：为什么这种文化能持续繁荣？为什么它会最先出现？

(6)、该书全名《流数法与无穷级数》撰于1671年，这是牛顿在数学方面的代表作,其中将1666年10月的流数短论进行了扩充，其英译本于1736年出版。作者注。

(7)、为了测定可能的运动，我们必需确定所有进出粒子的质量。质量是孤立粒子的内禀性质，也就是说，所有的质子都具有相同的质量，而所有的电子又具有另一个相同的质量，等等。实际上，这些粒子的能量和动量都是由众所周知的公式给出，运动是由能量守恒和动量守恒来约束的。认为进入某个运动状态的质量的总和与离开的质量的总和相等基本上是不正确的。

(8)、读者可以很容易地使自己确信，任何普通的初等算术命题都能为这五个前提所证明……现在我们要越过皮亚诺的研究而进入弗芮格(Frege)的探讨……我们已知皮亚诺将数学“算术化”做到最后完善的地步，弗芮格则第一个成功地将数学“逻辑化”。(罗素，1982)

(9)、因此，对这个论证的解决方法也必然是同一个方法，认为在运动中领先的东西不能被追上这个想法是错误的，因为在它领先的时间内是不能被赶上的，但是，如果芝诺允许它能越过所规定的有限的距离的话，那么它也是可以被赶上的。

(10)、康托的集合论是数学上最具有革命性的理论。他处理了数学上最棘手的对象---无穷集合。因此，他的发展道路也自然很不平坦。他抛弃了一切经验和直观，用彻底的理论来论证，因此他所得出的结论既高度地令人吃惊，难以置信，又确确实实，毋庸置疑。数学史上没有比康托更大胆的设想和采取的步骤了。因此，它不可避免地遭到了传统思想的反对。

(11)、(2)对于每个确定的数n,都有一个确定的数n¢与之对应,称为后继数.换句话说,存在N到自身的一个映射j,使得n¢=j(n)也是数,因此j(N)是N的一个部分.

(12)、P 设k是任何类,如果1ek,且对任何自然数n,有nek推出n+1ek,则k包含所有的自然数.

(13)、也就是说，在普罗克拉斯看来，无穷只能是一种概念，而不是一个数，而无穷中存在的对应关系也被他直接忽略掉。

(14)、(3)(美)卡尔·波耶：《微积分概念发展史》中译本复旦大学出版社2007年P3

(15)、1924阿克曼证明了没有归纳法公理模式的算术的相容性.

(16)、陶哲轩：《陶哲轩实分析》，王昆扬译，人民邮电出版社，2008年。

(17)、这一点也可以从莱布尼茨1688年发表的文章名中看出端倪——《求最大值和最小值的新方法，以及求切线的新方法，不被其他有理数和无理数幂阻碍，并为此而设计的一种独特的微积分》。在本书中，他把前期众多零星的研究第一次系统化了。

(18)、时间不断变化，越是对集合论深入研究，数学家们越是意识到集合论的重要性，而属于集合论的那份祝贺也姗然而至。

(19)、1917/8希尔伯特在他的讲义中证明了命题演算的相容性,它常归功于波斯特.

(20)、所以直线的和平面的公理I—V,V1的推论中,若有矛盾,则每一个矛盾必定也在数域W的算术中出现.

4、罗素悖论阻碍了集合论和整个数学的发展吗

(1)、所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。